행렬은 숫자를 직사각형 형태로 배열한 것입니다.

$(m, n)$ 모양의 행렬, $A\in\mathbb{R}^{7\times5}$는 아래와 같습니다. 단 $(m, n)\in\mathbb{N}$

행렬의 가로줄을 '행(Row)', 세로줄을 '열(Column)'이라고 부릅니다. 즉 윗 행렬은 7행 5열 행렬입니다.

앞으로 행렬 $A$의 $i$번째 행을 $[A]_i$, $j$번째 열을 $[A]^j$로 표현합니다.

행렬 $A$의 $(i, j)$좌표의 요소를 $[A]_{i j}$와 같이 표현하겠습니다. 비단, 위 행렬 $A$의 요소들과 같이 편히를 위해, 흔히 $[A]_{i j}$와 같이 표현합니다. 또한 위 행렬과 같이 $A = (a_{ij})$와 같이 표현할 수도 있습니다.

행렬의 덧셈과 뺄셈은 각 원소에서 이루어집니다. 이처럼 행렬 요소 각각에 대한 연산을 Element-Wise Operation이라고 합니다. 연산이 이루어지는 두 행렬의 모양(크기, 차원)이 같을 경우 연산이 가능합니다.

덧셈

뺄셈

위에서 첫 행렬을 $(9, 6)$ 모양의 행렬 $A$, 두번째 행렬을 $B$라고 할 때, $(A\pm B)$의 결과인 행렬 $C$의 각 요소는 아래와 같습니다.

상수 배는 행렬의 각 원소에 상수 값을 곱합니다.

즉, 상수 값 $k$와 행렬 $A$의 곱의 $(i, j)$ 좌표의 요소 값은 다음과 같습니다.

아다마르 곱(Hadamard Product)는 Element-Wise Operation입니다. 행렬의 덧셈이나, 뺄셈과 같이 행렬의 모양(크기, 차원)이 같은 경우 연산이 가능합니다. 기호 $\circ$로 표현합니다.

아다마르 곱은 같은 좌표에 존재하는 요소의 값끼리 곱합니다. 즉, 첫 행렬을 $A$, 두번째 행렬을 $B$, 아다마르 곱의 결과를 $C$라고 할 때 아래를 만족합니다.

행렬의 곱셈은 곱해지는 행렬의 열의 수와 곱하는 행렬의 행의 수가 같을 때 가능합니다. 곱셈 결과, 행의 수는 곱해지는 행렬의 행의 수와 같으며, 열의 수는 곱하는 행렬의 열의 수와 같습니다. 예컨대, $(m, k_1)$모양의 행렬 $A$와 $(k_2, n)$모양의 행렬 $B$를 순서대로 곱하기 위해서는 $k_1=k_2$를 만족해야 합니다(아래 예시에서는 $k$로 표현하겠습니다). 곱셈 결과는 $(m, n)$모양의 행렬이며 $AB \ne BA$임을 알 수 있습니다. 즉 행렬의 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 아니합니다. 행렬 곱셈 결과를 $C$라고 하면 다음을 만족합니다.

앞서 언급한 바와 같이 행렬의 곱셈의 경우 교환 법칙이 성립하지 않으나, 결합 법칙과 분배 법칙은 성립합니다. 즉, 행렬 $A, B, C$에 대하여 $(AB)C$와 $(A+B)C, A(B+C)$가 연산 가능하다면, 아래가 성립합니다.

아래, 두번째 식($(A+B)C = AC+BC$)의 간단한 증명을 준비하였습니다. 각 행렬은 $A=(a_{jk}),\; B=(b_{jk}),\; C=(c_{kj})$로 정의합니다.

위 두식은 동일하기 때문에, 두번째 식은 성립합니다. 다른 식 또한 위 증명과 같이 어렵지 않게 성립함을 확인 가능합니다. 행렬의 곱은 결합 법칙이 성립하므로 $(AB)C$보다는 $ABC$가 더 흔히 사용되는 표현입니다.

앞서 행렬 곱의 내용을 되돌아 보면, $(n, n)$모양의 행렬(정사각 행렬(square matrix))은 지수 표현이 가능합니다. 즉, $AAA$의 경우 $A^{3}$과 같이 표현 가능합니다. 그렇다면, $A^0$의 값은 무엇일까요? 실수에서 $(real\;number)^0 = 1$이 단위적인 것과 같이, $A^0$ 또한 단위적이며, 특별히 $I$로 표현하고 항등 행렬이라 부릅니다. 항등 행렬의 정의는 아래와 같습니다.

항등행렬에 상수 배를 한 행렬을 스칼라 행렬(scalar matrix)이라고 부릅니다.

두개의 $(n,n)$모양의 square matrix인, $A, B$에 대하여 $AB = I = BA$를 만족할 경우, $A$와 $B$를 가역 행렬(invertible matrix, 역 행렬이 존재하는 행렬)이라 부르고, $B$를 $A$의 역 행렬(inverse matrix)라고 부릅니다. 또한 역 행렬은 역 함수와 같이, $B = A^{-1}$처럼 표기합니다.

역 행렬을 구하는 과정은 복잡하여 시각화된 오브젝트를 $(3, 3)$모양의 행렬에 한하여 제작하였습니다. 다음에 가우스 소거법을 소개하며, 역 행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다. 또한 가역 행렬인지 확인하는 방법으로, 행렬식을 알아보겠습니다.

전치 행렬(transpose matrix)은 행과 열을 바꾼 행렬입니다. 행렬 $A$의 전치 행렬은 $A^{T}$와 같이 표현합니다. 즉, $[A^{T}]_{ij} = [A]_{ji}$를 성립합니다. 행렬 $A$가 $(m, n)$모양의 행렬일 때, 전치 행렬 $A^{T}$는 $(n,m)$모양의 행렬입니다.

열의 개수가 1개인 행렬을 행 벡터라고 부릅니다. 또한 행의 개수가 1개인 행렬을 열 벡터라고 부릅니다. 일반적으로 행렬 $x$는 열 벡터($\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix}$) 를 나타냅니다. 행 벡터를 나타낼 때는 전치 행렬을 활용하여 $x^{T}$와 같이 나타냅니다.