이전 노드의 역행렬 부분서, 오브젝트를 통해 역행렬을 확인해 보면 '역행렬이 존재하지 않습니다.'라고 나오는 경우가 있습니다(예컨대, $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 6 & 0 & -3 \end{bmatrix}$). 이는 모든 정사 행렬에 역행렬이 존재하는 것은 아님을 뜻합니다. 그렇다면, 역행렬의 존재 여부를 어떻게 알 수 있을까요? 이를 알 수 있는 방법, 행렬식에 대하여 알아봅시다.

$(2, 2)$모양의 행렬의 행렬식을 먼저 구해봅시다.

행렬 $A \in \mathbb{R}^{2\times 2} = (a_{ij})$가 있습니다.

행렬 $A$의 행렬식은 $det(A)$ 또는 $\left| A \right|$(절대값이 아닙니다)로 표현합니다. $det(A)$의 값을 구해봅시다. $A$의 역행렬을 행렬 $\lambda B$($A$는 스칼라 값, $B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} = (b_{ij})$)라고 하면 다음을 만족해야 합니다.

행렬 곱의 방법을 생각하면 아래 또한 성립합니다.

위 조건을 만족하기 위해서는 $a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21}$와 $a_{21} \times b_{12} + a_{22} \times b_{22}$는 값이 같아야 하며 0이 아니어야 합니다. 또한 $a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22}$와 $a_{21} \times b_{11} + a_{22} \times b_{21}$가 0임을 주목합시다. 행렬 $A$의 원소는 모두 상수이며, 값을 바꿀 수 없습니다. 우리는 행렬 $B$의 원소를 구해야 합니다. 하지만 위 식은 4항 4차 방정식으로, 값을 구하기 위해 가우스 소거법 등을 사용는 것이 일반적입니다. 그래서, 행렬식의 해를 보여드리겠습니다.

이는 연립방정식의 조건을 모두 만족합니다. 또한 $\lambda = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$입니다. 위 행렬에서 $\lambda$는 분모의 값이므로 0이 될 수 없습니다. 바로 이 식이 행렬식입니다! 행렬식이 0이 되면 해당 행렬은 역행렬이 존재하지 않습니다.

예컨대, 행렬 $A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$는 행렬식의 값이 0이므로 역행렬이 존재하지 않습니다.

행렬의 크기가 달라지면 행렬식 또한 달라집니다. 그렇다면, 다른 크기의 행렬 또한 이처럼 복잡한 과정을 통해 구해야 할까요? 아닙니다. 라폴라스 전개를 통해 쉽게 구할 수 있습니다. 라폴라스 전개에 대하여 알아봅시다.

라폴라스 전개(또는 코팩터 전개라고 불리는)를 이용하여