가우스 소거법은 선형 연립 방정식을 푸는 대표적인 방법입니다. 식의 해를 구하는 과정은 중, 고등학교를 넘어 수학이라는 학문에서 중요한 역할을 합니다. 이를 생각해보면, 가우스 소거법의 중요성을 이해할 수 있습니다. 가우스 소거법에 대하여 알아본 후, 연립 일차 방정식을 가우스 소거법을 활용하여 풀어봅시다. 추가로 역행렬을 가우스 소거법을 활용하여 구해볼 것입니다.

가우스 소거법은 행렬을 행사다리꼴(Row Echelon Form, REF) 행렬로 표현하는 방법입니다. 먼저 Row Echelon Form에 대하여 알아보겠습니다.

Row Echelon Form은 다음 조건을 만족하여야 합니다.

1. 0으로만 구성된 행은 제일 아래 위치합니다.
2. 가장 왼편에 존재하는 0이 아닌 원소는 윗 행렬보다 아래 행렬이 오른쪽에 존재합니다.

즉 계단 모양입니다. (개인적으로 행사다리꼴 모양이라 말하기 어렵다고 생각합니다.🤣)
가장 왼편에 존재하는 0이 아닌 원소를 피봇(pivot)이라고 부릅니다.두 개 이상의 방정식에서 공통된 해를 찾고 싶을 때 연립 방정식을 사용합니다.위 연립 방정식은 연립 일차 방정식입니다. 미지수 3개 $x_1, x_2, x_3$가 존재합니다. 연립 일차 방정식은 행렬의 곱셈으로 나타낼 수 있습니다.이전 노드에서 알아보았듯이, 행렬의 곱은 각 행의 원소와 열의 원소의 곱을 더하여 계산합니다. 이 사실을 통해 윗 연립 일차 방정식과 행렬은 같음을 알 수 있습니다.위 $x_1, x_2, x_3$를 구하는 방법에는 여러 방법이 존재하겠지만, 가우스 소거법을 활용하여 해를 구해봅시다. 위에서 예로 든 연립 일차 방정식을 Row Echelon Form으로 변환합니다. 우선, 윗 행렬 방정식을 첨가 행렬(Augmented Matrix)로 나타냅니다. 행렬 방정식 $AX = B$를 첨가 행렬을 활용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.위에서 예로 든 연립 일차 방정식을 첨가 행렬로 나타내면 아래와 같습니다.각 행을 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$로 표현하겠습니다.$R_{2}$행에 $3R_{1}$을 뺀 후, -8로 나눕니다. 이 과정을 통해 $R_{1}, R_{2}$에 대하여 Row Echelon Form으로 만들었습니다. 또한 -8로 나눔으로써 pivot을 1로 만들었습니다. pivot을 1로 나눈 이유는 아래 행($R_{3}$)을 보다 쉽게 계산하기 위함입니다.$R_{3}$행에 $2R_{1}$을 더한 후, $7R_{2}$을 빼줍니다.$R_{3}$행에 $2\over3$를 곱하여 모든 pivot을 1로 만들 수 있습니다.이와 같이 모든 pivot이 1인 Row Echelon Form을 Reduced Row Echelon Form라고 합니다. 위 식은 항등 행렬로 변환 가능함을 알 수 있습니다. 과정을 생략하여 항등 행렬로 변환하면 아래와 같습니다.따라서 $x_1 = 4, x_2=2, x_1=1$임을 알 수 있습니다.추가로 가우스 소거법을 활용하여 역행렬을 구해봅시다.
행렬 $A$가 있습니다. 이 행렬은 정사각행렬이며, 역행렬이 존재합니다. (행렬식)행렬을 역행렬과 곱할 경우, 항등 행렬이 됩니다.이를 Augmented Matrix로 표현하면 아래와 같습니다.우리는 왼쪽 방정식을 오른쪽 방정식으로 변환할 것입니다. Augmented Matrix의 왼쪽의 $A$를 가우스 소거법을 활용하여 항등 행렬로 나타냅니다. 결과적으로 Augmented Matrix의 항등행렬은 $A$의 역행렬로 변환됩니다. 위에서 연립 일차 방정식을 풀었을 때와 같이 우항은 신경쓰지 않겠습니다. (우리의 목표는 역행렬을 구하는 것입니다. 우항의 결과값은 처음 행렬과 같습니다.)
아래 $A$의 역행렬을 구한 식이 있습니다.